初等関数（しょとうかんすう、英: Elementary function）とは、
実数または複素数の1変数関数で、代数関数、指数関数、対数関数、
三角関数、逆三角関数および、それらの合成関数を作ることを
有限回繰り返して得られる関数のことである
ガンマ関数、楕円関数、ベッセル関数、誤差関数などは初等関数でない
初等関数のうちで代数関数でないものを初等超越関数という
双曲線関数やその逆関数も初等関数である
初等関数の導関数はつねに初等関数になる
縦3マス、横4マスの12マスのうちランダムに選ばれた
2マスにそれぞれ宝が眠っている
AEIBFJ…の順で縦に宝を探していく方法をとるP君と、
ABCDEFGH…の順で横に宝を探していく方法をとるQ君が、
同時に地点Aから探索を開始した
どっちの方が有利？
ABCD
EFGH
I JK L
P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
完全追尾型多項式が完成しました
宝の個数は2
P1st={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48
Q1st={12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3}/48
even={10n^2+8n+(-1)^n-9}/8
■Wolframに入力すると既約分数表示になるので御注意
P1st／Q1st
=8(n-1){(n-2)n-6}/{2n(n+2)(6n^2-2n-5)-3(-1)^n+3}+1
P1stとQ1stは、『宝一つの時の自陣当たり数』の二乗と
それぞれの差分を表す関数の和で求められる
■P1stを求める
宝一つの時の自陣当たり数
n(n+1)/2-1 ……①
P1stは①^2と差分の和
差分は0 0 1 3 7 13 22 34 50 70 95 125 161 203
252 308 372 444 525 615……
それを表す関数
(4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48 ……②
計算知能で①^2+②を入力すると
∴P1st={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48
■Q1stを求める
宝一つの時の自陣当たり数
n(n+1)/2-1 ……①
Q1stは①^2と差分の和
差分は0 1 2 2 1 -2 -7 -15 -26 -41 -60 -84 -113
-148 -189……
それを表す関数は
(-4n^3+18n^2+28n-3(-1)^n-45)/48 ……③
計算知能で①^2+③を入力すると
∴Q1st={12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3}/48
■evenを求める
evenは、n(n+1)-1と同着数の和
同着数は1 2 4 6 9 12 16 20 25……
これを表す関数は {2n^2-1+(-1)^(n)}/8 ……④
n(n+1)-1 ……⑤
計算知能で④+⑤を入力すると
∴even={10n^2+8n+(-1)^n-9}/8
P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
[11,] 4320 4165 161
[12,] 6054 5845 191
[13,] 8261 7987 223
[14,] 11019 10668 258
[15,] 14413 13972 295
[16,] 18533 17988 335
[17,] 23476 22812 377
[18,] 29344 28545 422
[19,] 36246 35295 469
[20,] 44296 43175 519
Table[(12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51)/48,{n,1,20}]
Table[(12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3)/48,{n,1,20}]
Table[(10n^2+8n+(-1)^n-9)/8,{n,1,20}]
2×3の場合
宝：1個 同等
宝：2～3個 長軸有利
宝：4～6個 同等
□■■
□□■
短軸有利☆
Table[C(3,k-1)+C(1,k-1),{k,1,6}]
{2, 4, 3, 1, 0, 0}
長軸有利☆
Table[C(3,k-1)+C(2,k-1),{k,1,6}]
{2, 5, 4, 1, 0, 0}
同等☆
Table[C(5,k-1)+C(3,k-2)+C(1,k),{k,1,6}]
{2, 6, 13, 13, 6, 1}
2 * 3 [2] : 4 , 5 , 6
2 * 3 [3] : 3 , 4 , 13
> sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12]
短軸有利 5 26 73 133 167 148 91 37 9 1 0 0
長軸有利 5 27 76 140 176 153 92 37 9 1 0 0
同等 2 13 71 222 449 623 609 421 202 64 12 1
□■■■
□□■■
□□□■
短軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}]
長軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,3mod n),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}]
同等☆
Table[C(11,k-1)+C(9,k-2)+C(7,k-2)+C(1,k),{k,1,12}]
> sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1
4×5の場合
宝：1個 同等
宝：2～5個 短軸有利
宝：6～13個 長軸有利
宝：14～20個 同等
□■■■■
□□■■■
□□□■■
□□□□■
短軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+C(1,n-4),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]
長軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,3 mod n)-C(0,n-5)+C(0,n-6),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]
同等☆
Table[C(19,k-1)+C(17,k-2)+C(15,k-2)+C(13,k-2)+C(8,k-2)+C(1,k),{k,1,20}]
5×6の場合
宝：1個 同等
宝：2～8個 短軸有利
宝：9～21個 長軸有利
宝：22～30個 同等
□■■■■■
□□■■■■
□□□■■■
□□□□■■
□□□□□■
短軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2 mod7)+3C(0,n-4)+C(1,n-7),k-1),{n,1,14}],{k,1,30}]
長軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,30mod n)-C(0,n-2)-2C(0,n-5)-C(1,n-8),k-1),{n,1,14}],{k,1,30}]
同等☆
Table[sum[C(2n-1-3C(1,n-9),k-2),{n,9,14}],{k,1,30}]+Table[C(29,k-1)+C(1,k),{k,1,30}]
5 * 6 [2] : 203 , 197 , 35
5 * 6 [3] : 1801 , 1727 , 532
5 * 6 [4] : 11418 , 11008 , 4979
5 * 6 [5] : 55469 , 54036 , 33001
5 * 6 [6] : 215265 , 211894 , 166616
5 * 6 [7] : 685784 , 680768 , 669248
5 * 6 [8] : 1827737 , 1825076 , 2200112
5 * 6 [9] : 4130886 , 4139080 , 6037184
5 * 6 [10] : 7995426 , 8023257 , 14026332
5 * 6 [11] : 13346984 , 13395944 , 27884372
5 * 6 [12] : 19312228 , 19372871 , 47808126
5 * 6 [13] : 24301031 , 24358063 , 71100756
5 * 6 [14] : 26642430 , 26684251 , 92095994
5 * 6 [15] : 25463979 , 25488051 , 104165490
6×7の場合
宝：1個 同等
宝：2～12個 短軸有利
宝：13～31個 長軸有利
宝：32～42個 同等
□■■■■■■
□□■■■■■
□□□■■■■
□□□□■■■
□□□□□■■
□□□□□□■
短軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(0,n-4)+5C(0,n-7)+C(1,n-11)+C(1,n-13),k-1),{n,1,20}],{k,1,42}]
長軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,30mod n)-C(0,n-2 mod12)-2C(0,n-5)-3C(0,n-9)-C(1,n-12),k-1),{n,1,20}],{k,1,42}]
同等☆
Table[sum[C(2n-1-3C(1,n-14)-3C(0,n-13)-8C(0,n-12),k-2),{n,12,20}],{k,1,42}]+Table[C(41,k-1)+C(1,k),{k,1,42}]
6 * 7 [2] : 413 , 398 , 50
6 * 7 [3] : 5328 , 5070 , 1082
6 * 7 [4] : 49802 , 47536 , 14592
6 * 7 [5] : 361511 , 347863 , 141294
6 * 7 [6] : 2125414 , 2063677 , 1056695
6 * 7 [7] : 10409448 , 10191338 , 6377542
6 * 7 [8] : 43330401 , 42718984 , 31980800
6 * 7 [9] : 155608539 , 154251591 , 136031680
6 * 7 [10] : 487675145 , 485359843 , 498407985
6 * 7 [11] : 1345799489 , 1343074613 , 1591687274
6 * 7 [12] : 3293603485 , 3292560662 , 4471952741
6 * 7 [13] : 7189071864 , 7193592264 , 11136067152
6 * 7 [14] : 14059388483 , 14074085203 , 24726755394
6 * 7 [15] : 24725171790 , 24753058778 , 49194197048
6 * 7 [16] : 39214892052 , 39255073592 , 88039755958
6 * 7 [17] : 56218716543 , 56265877603 , 142177333010
6 * 7 [18] : 72972907098 , 73019303768 , 207704910184
6 * 7 [19] : 85862179541 , 85900953866 , 275012177393
6 * 7 [20] : 91643393740 , 91671084359 , 330477129321
6 * 7 [21] : 88747779232 , 88764701159 , 360745394049
7×8の場合
宝：1個 同等
宝：2～16個 短軸有利
宝：17～43個 長軸有利
宝：44～56個 同等
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□□■■■■■■
□□□■■■■■
□□□□■■■■
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短軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2 mod18)+3C(0,n-4)+3C(1,n-7)+7C(0,n-11)+C(1,n-16)+C(1,n-18),k-1),{n,1,27}],{k,1,56}]
長軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-1 mod14)+C(0,n-3 mod18)+3C(1,n-5)+3C(1,n-9)-19C(0,n-14)-C(1,n-17)-C(1,n-19),k-1),{n,1,27}],{k,1,56}]
同等☆
Table[sum[C(2n-1-3C(1,n-20)-3C(1,n-18)-8C(1,n-16),k-2),{n,16,27}],{k,1,56}]+Table[C(55,k-1)+C(1,k),{k,1,56}]
7 * 8 [2] : 751 , 722 , 67
7 * 8 [3] : 13213 , 12546 , 1961
7 * 8 [4] : 169815 , 161494 , 35981
7 * 8 [5] : 1708176 , 1634573 , 477067
7 * 8 [6] : 14026034 , 13521709 , 4920693
7 * 8 [7] : 96716833 , 93921622 , 41278945
7 * 8 [8] : 571625198 , 558773693 , 290095184
7 * 8 [9] : 2940723248 , 2890925540 , 1744319612
7 * 8 [10] : 13327198939 , 13162957237 , 9116895304
7 * 8 [11] : 53717709609 , 53254225291 , 41930280380
7 * 8 [12] : 194070976396 , 192951568390 , 171360762514
7 * 8 [13] : 632475500322 , 630177011156 , 627260220922
7 * 8 [14] : 1869295969469 , 1865362789969 , 2070073204362
7 * 8 [15] : 5032748390589 , 5027434867987 , 6193066240064
7 * 8 [16] : 12389874719763 , 12385213035831 , 16873864084671
7 * 8 [17] : 27980641402960 , 27981556314178 , 42035336024662
7 * 8 [18] : 58125229289763 , 58139877526913 , 96062882957224
7 * 8 [19] : 111326498505381 , 111364943071921 , 201964537970498
7 * 8 [20] : 196977669970830 , 197048666795639 , 391587225396961
7 * 8 [21] : 322510102010304 , 322617018858127 , 701638985697449
7 * 8 [22] : 489306306855569 , 489444206271532 , 1163831929136799
7 * 8 [23] : 688690248074025 , 688846020744196 , 1789759515397979
7 * 8 [24] : 900050700996225 , 900206640621300 , 2554774361679750
7 * 8 [25] : 1092975958236546 , 1093115221856691 , 3388349400127275
7 * 8 [26] : 1233862233565383 , 1233973593552186 , 4178612556991503
7 * 8 [27] : 1295273249461927 , 1295353120172050 , 4794316279376103
7 * 8 [28] : 1264553645519991 , 1264605044607097 , 5119531910633352
同等8 * 9 [18] : 14798849190259080
短軸8 * 9 [18] : 13325129660655316
長軸8 * 9 [18] : 13308110914669040
から誤差がある
■8x9マスで宝マックス72個テーブルも一瞬で表示
短軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(0,n-4)+3C(1,n-7)+7C(0,n-11)+C(1,n-12)+9C(0,n-16)+C(1,n-22)+C(1,n-24)+C(1,n-26),k-1),{n,1,35}],{k,1,72}]
{35, 1259, 28901, 487245, 6460920, 70274262, 645084445, 5101533131, 35303844988,
216412209627, 1186682990705, 5867639936202, 26336848147168, 107913286582509,
405577089880106, 1403922286907797, 4491874681282838, 13325129660655319,
36749474808714593, 94449719219262517, 226689450187793573,
509035059085166018, 1071176160573816479, 2115432026610089700,
3925691963352022341, 6853294513073859630, 11266129211141121742,
17454698843693046407, 25505307844551837326, 35172169563389617239,
45797547548960471211, 56330082290098069195, 65468524173196415705,
71914624215592018826, 74671243825552686388, 73292765675007905651,
68001993326895424179, 59631707476231518911, 49411792162802982783,
38676208214646507895, 28584945063602478482, 19938274802884300793,
13116714709717265237, 8132639200776732766, 4748278261200713338,
2608024858933092322, 1346074794408997564, 652006213752455743,
295956138898867441, 125683998661458955, 49842381651879601,
18418955705334457, 6327555809439679, 2015233315978833,
593168628408153, 160782910480936, 39968340729272, 9068194179784,
1867271369048, 346638007264, 57550022756, 8461928362, 1088598639,
120646033, 11286483, 866713, 52461, 2347, 69, 1, 0, 0}
■8x9マスで宝マックス72個テーブルも一瞬で表示
同等☆
Table[sum[C(2n-1-3C(0,n-28)-3C(1,n-26)-3C(1,n-24)-8C(0,n-23)-8C(1,n-21)-15C(0,n-20),k-2),{n,20,35}],{k,1,72}]+Table[C(71,k-1)+C(1,k),{k,1,72}]
{2, 87, 3295, 78607, 1362299, 18460078, 204473689, 1907116083, 15299719813, 107274376311,
665613316422, 3691399441605, 18447776156424, 83642334863742, 346035607900560,
1312638938412806, 4584809892945575, 14798849190259082, 44283503920739404,
123188383908980963, 319353810087020272, 773186685811315639, 1751591017389233568,
3719181606403019809, 7412653767304185445, 13886128424486382893,
24477720915701752696, 40642683785697114854, 63620630278918684964,
93961096384315847204, 131013012205871839238, 172557237876989179559,
214781731322670114329, 252731141418076935138, 281209274772956576193,
295926350847761236653, 294548347126207473781, 277298087576831730532,
246896780442822393205, 207866926373152892934, 165440348653912344087,
124431016360680033348, 88399759656981333882, 59288415686663225877,
37514631338865127956, 22377473721141027910, 12572352774184755184,
6646249228402815124, 3302093433054131533, 1539874630017375451,
673008134822102446, 275211143609823985, 105099248767176058,
37401623133599593, 12373255757373154, 3794739201203181,
1075517359850959, 280687932668752, 67172923268624, 14670008286928,
2907185390840, 519288075532, 82935807842, 11727724279, 1450536738,
154505482, 13886622, 1024096, 59502, 2554, 72, 1}
しかも誤差を修正済み
いやぁ、この出力は圧巻ですね
Haskell先生もびっくり
しかし誤差あり
宝箱問題、
もとの 4x3 型の12部屋で宝箱の数を変えてみると
1と8以上で有利不利無し、それ以外は長軸優先有利となるな
初見での印象よりも随分奥深いなこれ
計算式お願いする
プログラムで計算したので式はなんとも
4x5だと宝箱を増やすと途中で短軸有利から長軸有利に
変わっちゃうので自分でもびっくりした
n=8くらいまでならマスのサイズを固定した場合、
宝を1からマックスまで変化させるロジックは完全に解明された
□■■■■■■■■
□□★■■■■■■
□□□★■■■■■
□☆□□★■■■■
□□□□□■■■■
□□☆□□□■■■
□□□□□□□■■
□□□☆□□□□■
{69, 67, 65, 63, 61, 59, 57, 56, 52, 50, 48, 46, 44, 43, 42, 37, 35, 33, 32, 31, 30, 24, 23, 22, 21, 20, 15, 14, 13, 12, 8, 7, 6, 3, 2}
35項目、合計1210
8x9マス長軸は三角数の位置2 6 12 20 30 42 56で1上がっている
つまり、最大マスから一回りづつ小さいマスの総数は全て数える
8x9マスでは8(8+1)/2-1=35 35項
>>4[8,] 1259 1210 87 から合計1210 8 * 9 [2] : 1259 , 1210 , 87
8 * 9 [3] : 28901 , 27444 , 3295
8 * 9 [4] : 487245 , 462938 , 78607
8 * 9 [5] : 6460920 , 6168325 , 1362299
8 * 9 [6] : 70274262 , 67504568 , 18460078
8 * 9 [7] : 645084445 , 623551570 , 204473689
8 * 9 [8] : 5101533131 , 4960367131 , 1907116083
8 * 9 [9] : 35303844988 , 34509440319 , 15299719813
8 * 9 [10] : 216412209627 , 212525346318 , 107274376311
8 * 9 [11] : 1186682990705 , 1169989129225 , 665613316422
8 * 9 [12] : 5867639936202 , 5804244923649 , 3691399441605
8 * 9 [13] : 26336848147168 , 26122841703128 , 18447776156424
8 * 9 [14] : 107913286582509 , 107268699582069 , 83642334863742
8 * 9 [15] : 405577089880106 , 403841343528838 , 346035607900560
8 * 9 [16] : 1403922286907797 , 1399743796844505 , 1312638938412806
8 * 9 [17] : 4491874681282838 , 4482908439962531 , 4584809892945575
8 * 9 [18] : 13325129660655316 , 13308110914669040 , 14798849190259080
8 * 9 [19] : 36749474808714576 , 36721381656941040 , 44283503920739408
8 * 9 [20] : 94449719219262544 , 94410951895703376 , 123188383908980944
8 * 9 [21] : 226689450187793600 , 226649637879721216 , 319353810087020288
8 * 9 [22] : 509035059085166144 , 509020882643576960 , 773186685811315328
8 * 9 [23] : 1071176160573816448 , 1071238534080555904 , 1751591017389233920
8 * 9 [24] : 2115432026610089728 , 2115648029075918592 , 3719181606403020288
8 * 9 [25] : 3925691963352023040 , 3926156660554725888 , 7412653767304184832
8 * 9 [26] : 6853294513073858560 , 6854100615782599680 , 13886128424486381568
8 * 9 [27] : 11266129211141124096 , 11267338149222707200 , 24477720915701743616
8 * 9 [28] : 17454698843693041664 , 17456312814286665728 , 40642683785697116160
8 * 9 [29] : 25505307844551831552 , 25507254963487424512 , 63620630278918684672
8 * 9 [30] : 35172169563389628416 , 35174310810267590656 , 93961096384315801600
■8x9マス長軸テーブル外せば出力可能
sum[C(2n-1+C(0,3mod n)+C(0,n-6 mod15)+C(0,n-10 mod18)+C(0,n-15)-C(0,n-5 mod22)-3C(0,n-9)-3C(1,n-13)-7C(0,n-20)-C(1,n-23)-C(1,n-25),k-1),{n,1,35}],k=16
1399743796844505
>>20
8 * 9 [16] : 1399743796844505 k=26, 6854100615782599621
8 * 9 [26] : 6854100615782599680
Table[sum[C(2n-1+α,k-1),{n,1,a}],{k,1,b}]
a=n(n+1)/2-1
b=n(n+1)
を満たす差分追尾数列αを見つけてくれ～(・ω・)ノ
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2 3 6 7 9
2 3 6 7 8 12 13 15 17
2 3 6 7 8 12 13 14 16 20 21 23 25 27
2 3 6 7 8 12 13 14 15 20 21 22 24 26 30 31 33 35 37 39
2 3 6 7 8 12 13 14 15 20 21 22 23 25 30 31 32 34 36 38 42 43 45 47 49 51 53
長軸choose数え上げ
□■■■■■■■■■■■■■■
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□□□□□□□□□□□□□□■
2n x 2n の正方形を
1 x 2 のドミノで埋める場合の数を考えます
たとえば、2x2の正方形を1x2のドミノで埋める場合の数は、2通りです
4x4の正方形を1x2のドミノで埋める場合の数は、36通りです
一般に、n=0,1,2,3,,,,のとき、
1, 2, 36, 6728, 12988816, 258584046368,,,
となり、一般項は、
Π[j=1 to n]Π[k=1 to n]{4cos^2 πj/(2n+1)+4cos^2 πk/(2n+1)}
となるようなのですが、
どのようにその公式が導かれるのでしょうか?
wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Domino_tiling
によると
Temperley & Fisher (1961) and Kasteleyn (1961)
によって独立に発見されたとある
多分元論文は
Temperley, H. N. V.; Fisher, Michael E. (1961),
"Dimer problem in statistical mechanics-an exact result",
Philosophical Magazine, 6 (68): 1061-1063, doi:10.1080/14786436108243366
Kasteleyn, P. W. (1961), "The statistics of dimers on a lattice. I.
The number of dimer arrangements on a quadratic lattice", Physica,
27 (12): 1209-1225, Bibcode:1961Phy....27.1209K, doi:10.1016/0031-8914(61)90063-5.
原論文読むのが早い ■平面充填（へいめんじゅうてん）
平面内を有限種類の平面図形（タイル）で隙間なく敷き詰める操作である
敷き詰めたタイルからなる平面全体を平面充填形という
平面敷き詰め、タイル貼り、タイリング (tiling) 、テセレーション
(tessellation) ともいう
ただし「平面」を明言しない場合は、曲面充填や、
場合によっては2次元以外の空間の充填を含む
広義のテセレーション等については、空間充填を参照
平面充填は広義の空間充填の一種で、2次元ユークリッド空間の
充填である
多面体は多角形による球面充填（曲面充填の一種）と
考えることができる
そのため、多角形による平面充填は多面体と共通点が多く、
便宜上多面体に含めて論じられることもある
ルジンの問題（Luzin - のもんだい）とは、
正方形に関してニコライ・ルジン (Nikolai Luzin) が考えた問題である
「任意の正方形を、2個以上の全て異なる大きさの正方形に分割できるか」
という問題であり、ルジンはこの問題の解は存在しないと予想したが、
その後幾つかの例が発見された
2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 24, 25, 27, 29, 33, 35, 37, 42, 50 の
計21枚の正方形
Table[C(0,n-2 mod18)+3C(0,n-4)+3C(1,n-7)+7C(0,n-11)+C(1,n-16)+C(1,n-18),{n,1,27}]
{0, 1, 0, 3, 0, 0, 3, 3, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}
こういう数列を簡単に作る方法は？
Table[{1-n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)(n-9)(n-10)(n-11)(n-12)/13!}/4,{n,0,13}]
Table[(1-C(0,n-13))/4,{n,0,13}]
同じ出力で遥かに式を短くできる
56を2進法表記で桁をリストアップし，
リスト長が8になるようにリストの左側にゼロを足し加える：
In[3]:=IntegerDigits[56, 2, 8]
Out[3]={0,0,1,1,1,0,0,0}
FromDigits[{1,0,1,0,0,1,0,0,0}, 2]
328
Table[2n-1,{n,1,9}]+IntegerDigits[328, 2, 9]
{2, 3, 6, 7, 9, 12, 13, 15, 17}
3を法としたときの剰余：
Mod[{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, 3]
{1,2,0,1,2,0,1}
2進値リストからもとの数を再生する：
IntegerDigits[56, 2, 8];
FromDigits[%, 2]
a_n=1/4((-1)^n-(1+2i)(-i)^n-(1-2i)i^n+9)
1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2,
『与えられた数より小さい素数の個数について』
Chu-Vandermonde identity
n個のものからk個取り出す場合の数と
k個取り残す場合の数は等しい
C(n,k)=C(n,n-k)
■平方完成
y=ax^2-(-a+2)x-a-a+2
=a(x^2-(-a+2)x/a)-a-a+2
=a{(x-(-a+2)/(2a))^2-(-a+2)^2/(4a^2)}-a-a+2
=a(x-(-a+2)/(2a))^2-(-a+2)^2/(4a)-a-a+2
=a(x-(-a+2)/(2a))^2-(-a+2)^2/(4a)-2a+2
=a(x-(-a+2)/(2a))^2-(a^2-4a+4)/(4a)-2a+2
=a(x-(-a+2)/(2a))^2-(a^2-4a+4)/(4a)-(8a^2)/(4a)+(8a)/(4a)
=a(x-(-a+2)/(2a))^2-(a^2-4a+4+8a^2-8a)/(4a)
=a(x-(-a+2)/(2a))^2-(9a^2-12a+4)/(4a)
トランプの束がある
2～10までの数字が描かれたカードが各スートに1枚ずつと、
ジョーカーのカードが24枚ある
全てを混ぜて無作為に切り直して12枚のカードを無作為に引いたとき
その12枚のカードのうちジョーカー以外にいずれも違う数字が
書かれている確率はいくらか
Sum[choose(24,k)*choose(9,12-k)*4^(12-k),{k,3,12}]/(choose(60,12))
Sum[C(24,k)C(9,12-k)4^(12-k),{k,3,12}]/(C(60,12))
出力 7371811052/66636135475
FromDigits[{1,0,1,0,0,1,0,0}, 2]
164
第一種の合流型超幾何関数（クンマー）
1Ｆ1[a; b; z] = 1+Σ[k=1, ∞] {a(a+1)････(a+k-1)/b(b+1)････(b+k-1)} z^k/k!
1Ｆ1[-n; -2n; z] = {n!/(2n)!} Σ[k=0, n] {(2n-k)!/(n-k)!k!} z^k
Table[choose(17,k-1)+choose(15,k-1)+choose(13,k-1)+choose(11,k-1)+choose(10,k-1)+choose(8,k-1)+choose(5,k-1)+choose(4,k-1)+choose(1,k-1),{k,1,20}]
chooseを一つにした式に変形できますか？
三つならできた
短軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+C(1,n-4),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]
Table[C(0,n-2 mod4),{n,1,10}]
{0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1}
長軸有利☆
Table[C(9,k-1)+C(7,k-1)+C(6,k-1)+C(3,k-1)+C(2,k-1),{k,1,12}]
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-1)+C(0,n-3),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}]
Table[sum[C(2n-1+C(0,3mod n),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}]
{5, 27, 76, 140, 176, 153, 92, 37, 9, 1, 0, 0}
同じ出力で式が短くなってゆく
Table[C(0,2mod n),{n,1,10}]
{1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}
Table[C(0,3mod n),{n,1,10}]
{1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}
Table[C(0,4mod n),{n,1,10}]
{1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0}
Table[C(0,5mod n),{n,1,10}]
{1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0}
Table[C(0,6mod n),{n,1,10}]
{1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0}
Table[C(0,7mod n),{n,1,10}]
{1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0}
Table[C(0,8mod n),{n,1,10}]
{1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0}
Table[C(0,9mod n),{n,1,10}]
{1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0}
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Rock54: Caution(BBR-MD5:b73a9cd27f0065c395082e3925dacf01) 短軸有利☆
Table[C(9,k-1)+C(7,k-1)+C(5,k-1)+C(4,k-1)+C(1,k-1),{k,1,12}]
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}]
{5, 26, 73, 133, 167, 148, 91, 37, 9, 1, 0, 0}
k-1を一つにして式を短縮
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cILXg6ToA2TskeIlZraUTbzQ5PkR9lGnJjBFN7aSfv8vkCEpe9hYmrfF47H0RcNX5k3Y3i5xgHKhiNu5T8GeXfcYWpG6eLzIDAFy8DF39cqoofzCDnk8Ogt5q2H4cQNTgsDQDYYmFl2kKkYeX6CZ9LQruT8LprERVMyn0lUCYqfO4sQqWCu8kiVnpdZgd9QqdVcOT639
SDK4t8ql63OVBPRjJe2DvhC0BHjXErI2RCeGdMeBPD539aNqdFVIPGHN1NIVVDyTM4gfJbnFDgC5slKjSO17coT9jUfpOvezlHg9lXM95eftZiKzTx36T6C88TnssEI0tM3SKlDidfP9neTR3feD1cDGkYAzaPDCjyD4a2OcqNChan0XweFrq0xqQYc6Oi6am5DWfurQ
Kvr3idZa3OUlonClNyGyT3u2Xrtde47Cr6m4tG1j7AurlCjmUXvLPaQDQLlhymjaNIkWblKiKeVhk601XohEk7mNq3FyXjLGTJjx4csGI9MHt9vijbaaAQMFGIi8A28SQA1Ie3oELhvKeuLzK9ZYmGMEVqj4GtOgB719u1e1KHHqpfnGgwmMFMpRTjoTrEl4f9KFathh
kjasjfkajkljfklajjfjksdjksjalkjflkjasjfkjasjfkjajjs2333354994998989029929050295895028902802058299202095898582982092029209029029
sgssl;slg;ld;1
ComplexExpand[(1+E^(I(1+n)Pi)+2n)/4]
■連続投稿・重複
連続投稿・コピー＆ペースト
連続投稿で利用者の会話を害しているものは削除対象になります
個々の内容に違いがあっても、荒らしを目的としていると判断したものは同様です
コピー＆ペーストやテンプレートの存在するものは、アレンジが施してあれば
残しますが、全く変更されていない・一部のみの変更で内容の変わらないもの、
スレッドの趣旨と違うもの、不快感を与えるのが目的なもの、
などは荒らしの意図があると判断して削除対象になります
※お手数ですが削除依頼できる方お願いします<(_ _)>
■DoS攻撃（ドスこうげき）（英：Denial of Service attack）
情報セキュリティにおける可用性を侵害する攻撃手法で、
ウェブサービスを稼働しているサーバやネットワークなどの
リソース（資源）に意図的に過剰な負荷をかけたり
脆弱性をついたりする事でサービスを妨害する攻撃、
サービス妨害攻撃である
>>1は関係ないスレゴミを書き込むキチガイです。対応できるかたアクセス禁止をお願いします。 【ロビーのお約束】 削除の要件（禁止されること）
荒らし依頼・ブラクラの張付け等第3者に迷惑がかかる行為
アダルト広告・勧誘・悪質な掲示板宣伝などのアドレス等張りつけ
煽り・煽りに対する返答・叩き・誹謗中傷等（差別発言等含む）
コピペ・アスキーアート等必要以上の張り付け または
第3者に迷惑が掛かる行為や発言であった場合は削除対象にします
■掲示板・スレッドの趣旨とは違う投稿
レス・発言
スレッドの趣旨から外れすぎ、議論または会話が成立しないほどの
状態になった場合は削除対象になります
故意にスレッドの運営・成長を妨害していると判断した場合も同様です
■投稿目的による削除対象
レス・発言
議論を妨げる煽り、不必要に差別の意図をもった発言、
第三者を不快にする暴言や排他的馴れ合い、
同一の内容を複数行書いたもの、
過度な性的妄想・下品である、等は削除対象とします
確率空間においては, A ∈ F を事象 (event) と呼ぶ.
100!中の二進数字の桁数を求める：
In[1]:=IntegerLength[100!, 2]
Out[1]=525
((-1)^n)(((-1)^n)n+n+4(-1)^n+2)/2
1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1 15 1 17 1
かなりエレガント☆
てめーが、糞まきちらしておいて俺は被害者だー、馬鹿乙
短軸有利☆
Table[C(9,k-1)+C(7,k-1)+C(5,k-1)+C(4,k-1)+C(1,k-1),{k,1,12}]
Cの数は宝一つの時の当たり数の5
9+7+5+4+1=26は宝二個の時の当たり数になる
長軸有利☆
Table[C(9,k-1)+C(7,k-1)+C(6,k-1)+C(3,k-1)+C(2,k-1),{k,1,12}]
Cの数は宝一つの時の当たり数の5
9+7+6+3+2=27は宝二個の時の当たり数になる
同様に20マスの場合は
短軸有利のCの数は宝一つの時の当たり数の9
17+15+13+11+10+8+5+4+1=84
長軸有利のCの数は宝一つの時の当たり数の9
17+15+13+12+8+7+6+3+2=83
短軸有利☆
Table[C(9,k-1)+C(7,k-1)+C(5,k-1)+C(4,k-1)+C(1,k-1),{k,1,12}]
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}]
{5, 26, 73, 133, 167, 148, 91, 37, 9, 1, 0, 0}
k-1を一つにして式を短縮
合流型超幾何微分方程式
(confluent hypergeometric differential equation)
■■■■■■■■■■■
■□□□□□□□□□■
■□■■■■■■■□■
■□■□□□□□■□■
■□■□■■■□■□■
■□■□■□□□■□■
■□■□■■■■■□■
■□■□□□□□□□■
■□■■■■■■■■■
■■■■■■
□□□□□■
□■■■□■
□■□□□■
□■■■■■
'Let's Make a Deal' host Monty Hall dies aged 96
ITV News-2017/09/30
Monty Hall, one of the US's most popular television game show hosts,
has died aged 96, his son has said. Born Monte Halperin on 25 August 1921, for nearly
three decades Hall hosted 'Let's Make a Deal', the hugely successful television show
that he co-created.
1-(165n-3n^2+351)/(208n-7n^2+468)
(4n+9)(n-13)/(7n^2-208n-468)
・マクローリン展開
入力例：series[tan x]
合流型超幾何関数
歴史的には、18世紀に Euler が初めて超幾何微分方程式と
その解の研究を手掛けた
19世紀初頭になると、J. C. F. Gauss や N. H. Abel 等によって
級数の収束性についての厳密な理論が展開され、
超幾何級数にも応用された
19世紀中葉では複素解析学が整備され、
G. F. B. Riemann などの著名な数学者によって、
複素領域で定義された線形常微分方程式の解となる
関数の大域的理論や多価関数としての構造が深く研究された
■http://2chb.net/r/math/1540218853/161
二つの関数を一つに合成する
P1st
(6n^3+20n^2-n-27)(n-1)/24 （奇数）……①
(6n^4+14n^3-21n^2-26n+24)/24 （偶数）……②
Q1st
(6n^2+10n-3)(n+1)(n-1)/24 （奇数）……③
(6n^2-2n-5)(n+2)n/24 （偶数）……④
奇数［1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0］のみ出力する関数は
((-1)^(n+1)+1)/2 ……⑤
偶数［0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1］のみ出力する関数は
((-1)^n+1)/2 ……⑥
①x⑤+②x⑥
((6n^3+20n^2-n-27)(n-1)/24)(((-1)^(n+1)+1)/2)+((6n^4+14n^3-21n^2-26n+24)/24)(((-1)^n+1)/2)
∴P1st =｛12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51｝/48
③x⑤+④x⑥
((6n^2+10n-3)(n+1)(n-1)/24)(((-1)^(n+1)+1)/2)+((6n^2-2n-5)(n+2)n/24)(((-1)^n+1)/2)
∴Q1st =｛12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3｝/48
>>4と一致Match ■Obituary - John Forbes Nash, Jr. (1928 - 2015)
Swarajya-2015/05/25
Nash is mostly known for his equilibrium concept called as
“Nash Equilibrium”. For many years before his seminal paper,
legends like von Neumann were working on the theory of
games with a special focus on Zero-sum games.
ComplexExpand[(1+E^(I(1+n)Pi)+2n)/4]
Piはπ
Table[(E^(I n Pi)(2+n+E^(I n Pi)(4+n)))/2,{n,1,56}]
{1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 11, 1, 13, 1, 15, 1, 17, 1, 19, 1, 21, 1, 23,1, 25,
1, 27, 1, 29, 1, 31, 1, 33, 1, 35, 1, 37, 1, 39, 1, 41, 1, 43, 1, 45,
1, 47, 1, 49, 1, 51, 1, 53, 1, 55, 1, 57, 1, 59}
a_n=(2n+(-1)^(n+1)+1)/4
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7
1/4(2n+e^(iπ(n+1))+1)
(1+E^(I(1+n)Pi)+2n)/4
1/4(2n+e^(i πn+i π)+1)
(1+E^(I Pi+I nPi)+2n)/4
ComplexExpand[(1+E^(I(1+n)Pi)+2n)/4]
1/4(2n+e^(iπ n+iπ)+1)
n/2-1/4 i sin(π n)-1/4 cos(π n)+1/4
ComplexExpand[(1+E^(I Pi+I n Pi)+2 n)/4]
1/4+n/2-Cos[n Pi]/4-(I/4) Sin[n Pi]
■スイッチング関数
Table[-C(1,n-2)+C(1,n-5)+C(1,n-9)+C(1,n-10),{n,1,10}]
{0, -1, -1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 2}
153043438141440=4(18!!)+2(20!!)+78(24!!)
153043438141440=4(18!!)+2(20!!)+3(26!!)
53760=512(7!!)
((-1)^n-(1+2 i)(-i)^n-(1-2 i)i^n+9)/4
1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2,
トランプの束がある
2～10までの数字が描かれたカードが各スートに1枚ずつと、
ジョーカーのカードが24枚ある
全てを混ぜて無作為に切り直して12枚のカードを無作為に引いたとき
その12枚のカードのうちジョーカー以外にいずれも違う数字が
書かれている確率はいくらか
Sum[choose(24,k)*choose(9,12-k)*4^(12-k),{k,3,12}]/(choose(60,12))
Sum[C(24,k)C(9,12-k)4^(12-k),{k,3,12}]/(C(60,12))
出力 7371811052/66636135475
『ある二次関数のグラフが、
点(0,1/4),(3,10/49),(13,0) を通るとき、
この二次関数を求めなさい』
二次関数を決めるには、基本的には３点必要です
３点が与えられると、対応する式が３つできるので、
この連立方程式を解けば、３つの係数が確定できる、
というのが典型的な流れです
連立方程式を解くのが少し大変ですが、
定数項を削除する方針で計算すれば、
計算はスムーズにいきます
9a+3b+c=10/49
169a+13b+c=0
c=1/4 を解いて
a=-1/2548, b=-9/637, c=1/4
∴y=(-1/2548)x^2+(-9/637)x+1/4
別の形 y=-((x+49)(x-13))/2548
y=(961-(x+18)^2)/2548
同じ３点を通るこの関数は
どうやって導かれたのか？
(4n+9)(n-13)/(7n^2-208n-468)
・代数方程式の厳密解
入力例：solve[x^3-3x+4=0]
どのスートが出るのも同様に確からしい
ジョーカーを除くトランプのカード52枚から
一枚のカードを箱に入れる
Ωの部分集合を事象と言う
Ω自身は全事象と言う
Ω=｛スペード，ハート，クラブ，ダイヤ｝となる
各 i （1≦i≦4） が根元事象である
ハートが出るという事象A=｛ハート｝で確率P(A)は
P(A)=1/4 となる
最初に箱に入れた時を i
山札をシャッフルしてダイヤが三枚出た後を ｊ として
箱の中のカードがハートであるという事象Aを考える.
A=｛（i，j）| i または j がハート｝
Ω=｛（i，j）|1≦i≦4，1≦j≦49｝となり
この196通りの各要素が根元事象
シャッフル後にダイヤのカードをn枚引いた時に
箱の中にダイヤ以外のスートが出る確率空間は
Ω＝｛（i，j）|1≦i≦4，1≦j≦52-n｝から
#A=4(52-n)-3(51-n)
=208-4n-153+3n
=55-n
#Aは事象Aに含まれる要素の個数
スペード・ハート・クラブの各スートの出る確率は
P(A)=(55-n)/(208-4n)
スペード・ハート・クラブである確率は
P(X)=(165-3n)/(208-4n)
ダイヤである確率は
q=1-(165-3n)/(208-4n)
しかしこのままでは
点(0,1/4),(13,0) を通らない
■点(0,1/4),(13,0) を通るように二次関数にする
1-(165-3n)/(208-4n) から
1-(165n-3n^2+3b)/(208n-4n^2+4b) とおくと
n=0,b≧1のとき、1/4が出力できる
さらにn=13のときに(165n-3n^2+3b)=(208n-4n^2+4b)
となれば、0が出力できる
このためには、分母を分子よりも小さくして
1-(165n-3n^2+3b)/(208n-7n^2+4b)
その差分をb=117で回収すると完成
∴1-(165n-3n^2+351)/(208n-7n^2+468)
式変形すると
(4n+9)(n-13)/(7n^2-208n-468)
■Wolfram入力
Table[(4n+9)(n-13)/(7n^2-208n-468),{n,0,13}]
■三角錐数を小さい順に列記すると
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680,
816, 969, …（オンライン整数列大辞典の数列 A292）
計算式
n(n+1)(n+2)/6
Table[(n-13)(4n^4-15n^3+107n^2+894n+11880)/(7n^5-250n^4+1325n^3-2330n^2+1248n-617760),{n,0,13}]
0 | 1/4
1 | 1/4
2 | 1/4
3 | 1/4
4 | 359/1440
5 | 1310/5321
6 | 224/941
7 | 464/2087
8 | 1441/7276
9 | 271/1630
10 | 157/1216
11 | 37/418
12 | 1/22
13 | 0
Probability なる単語に対して「確率」という訳案が出されたのは、
1908年（明治41年）だが、この語の他にも「蓋然」「公算」「適遇」「近真」
「確からしさ」「多分さ」等の候補が有り、「確率」という訳語が定着したのは、
1919年（大正8年）頃である
首都大学東京で経営科学を専門とする中塚利直教授は、
藤澤利喜太郎の訳語であると推定している
>>7
{0, 3, 19, 60, 120, 161, 147, 91, 37, 9, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}+Table[sum[C(2n-1,k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]
{9, 84, 463, 1776, 5076, 11249, 19797, 28057, 32243, 30095, 22749,
13820, 6656, 2486, 695, 137, 17, 1, 0, 0} >>6
{5, 26, 73, 133, 167, 148, 91, 37, 9, 1, 0, 0}
91, 37, 9, 1が一致 Table[Factor[(1-Binomial[0,-13+n])/4],{n,0,13}]
{1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 0}
■NPN-同値類（NPN-equivalent class）または
NPN-同値関数（NPN-equivalent function）．
(1)一部またはすべての入力変数の否定（Negation）
(2)一部またはすべての入力変数の順序の変更（Permutation）
(3)出力結果の否定（Negation）
論理代数のことをブール代数（Boolean algebra）と
呼ぶことがしばしばある
Table[1,{n,0,13}]
{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}
Table[5,{n,0,13}]
{5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5}
Sum[(-2)^k((n-k)/k!),{k,0,-1+n}]
Table[Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}],{n,1,20}]
Table[Γ(n+1,-2)/(e^2Γ(n))+((-2)^(n+1)+(2Γ(n+1,-2))/e^2)/Γ(n+1),{n,1,20}]
(n+2)sum[k=0,n](-2)^k/k!+(-2)^(n+1)/n!
(n+2)sum[(-2)^k/k!,{k,0,n}]+(-2)^(n+1)/n!
■ベイズの公式から
Table[(13-n)/(52-n),{n,0,13}] ……①
出力
{1/4, 4/17, 11/50, 10/49, 3/16, 8/47, 7/46, 2/15, 5/44, 4/43, 1/14, 2/41, 1/40, 0}
この出力をすべて含んだ式
Table[(n-13)(3a+4n+3)/(7n^2-208n-156a-156),{a,0,11},{n,0,13}] ……②
∵［0≦a≦11］
①の出力はすべて②の出力に含まれる
Table[(C(0,n)+C(0,n-a-1))(n-13)(3a+4n+3)/(7n^2-208n-156a-156),{a,0,11},{n,0,13}]
1劫年（349京2413兆4400億年）
■□■
■□■
□■■
1不可説不可説転=10^(7 2^122)
1グーゴルプレックス=10^(10^100)
1不可説不可説転
↓
10^37218383881977644441306597687849648128
■志村 五郎氏（しむら・ごろう=数学者、米プリンストン大名誉教授）
プリンストン大の発表によると、5月3日死去、89歳
楕円関数の性質に関する「谷山・志村予想」を提唱
350年余り数学者を悩ませてきた「フェルマーの最終定理」の
証明につながった
東京大助教授、大阪大教授を経て1964～99年にプリンストン大
教授を務めた（ワシントン=共同）
Log(640320^3+744)/163^0.5≒3.141592653589793238462643383279
Table[3^(1-n)(3n-2),{n,1,15}]
{1, 4/3, 7/9, 10/27, 13/81, 16/243, 19/729, 22/2187, 25/6561,
28/19683, 31/59049, 34/177147, 37/531441, 40/1594323, 43/4782969}
■n=3のとき10/49
Table[1-(165n-3n^2+39)/(216n-7n^2+52),{n,0,13}]
Table[1-(165n-3n^2+78)/(215n-7n^2+104),{n,0,13}]
Table[1-(165n-3n^2+117)/(214n-7n^2+156),{n,0,13}]
Table[1-(165n-3n^2+156)/(213n-7n^2+208),{n,0,13}]
Table[1-(165n-3n^2+195)/(212n-7n^2+260),{n,0,13}]
Table[1-(165n-3n^2+234)/(211n-7n^2+312),{n,0,13}]
Table[1-(165n-3n^2+273)/(210n-7n^2+364),{n,0,13}]
Table[1-(165n-3n^2+312)/(209n-7n^2+416),{n,0,13}]
165,-3,-7を変えない限り、
点(0,1/4),(3,10/49),(13,0) を必ず通る
定数bを定めて式を一般化する
Table[1-(165n-3n^2+(39+39b))/((216-b)n-7n^2+(52+52b)),{b,3,4},{n,0,13}]
∵［0≦b≦7］
C: 複素数全体
R: 実数全体
Q: 有理数全体
Z: 整数全体
N: 自然数全体
使用例. 1 ∈ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
短軸有利☆
Table[C(27,k-1)+C(25,k-1)+C(23,k-1)+C(21,k-1)+C(19,k-1)+C(18,k-1)+C(16,k-1)+C(14,k-1)+C(11,k-1)+C(10,k-1)+C(9,k-1)+C(5,k-1)+C(4,k-1)+C(1,k-1),{k,1,30}]
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(0,n-4)+C(1,n-7)+C(0,n-9),k-1),{n,1,14}],{k,1,30}]
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2 mod7)+3C(0,n-4)+C(1,n-7),k-1),{n,1,14}],{k,1,30}]
C(0,n-a)およびC(0,n mod a)により
式の長さを半分以下に短縮
『1個のサイコロを10回投げたとき，1または2の目が
ちょうど4回出る確率を求めよ』
1個のサイコロを1回投げたとき，1または2の目が出る確率は
p=2/6=1/3である
よって，q=1-1/3=2/3であるから，求める確率は
p(4) =C(10,4)p^4q^(10-4)
=C(10,4)(1/3)^4(2/3)^6
=4480/19683
■組合せ（くみあわせ、英: combination, choose）公式
C(4,k-1)=C(3,k-1)+C(3,k-2)
C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)
C(n,k)=C(n,n-k)
☆
1以上22以下の自然数の集合をSとする
Sの部分集合Tで、次の条件を満たすものを考える
[条件] Tに属する任意の2つの要素の差は4でも7でもない
Tの要素数の最大値はいくらか
1 5 9 13 17 21
2 6 10 14 18 22
3 7 11 15 19
4 8 12 16 20
Table[2n-b-a+{(n+a)mod4}+4C(0,n-8+a),{a,0,1},{b,0,2},{n,1,10}]
{3, 6, 9, 8, 11, 14, 17, 20, 19, 22}
{2, 5, 8, 7, 10, 13, 16, 19, 18, 21}
{1, 4, 7, 6, 9, 12, 15, 18, 17, 20}
{3, 6, 5, 8, 11, 14, 17, 16, 19, 22}
{2, 5, 4, 7, 10, 13, 16, 15, 18, 21}
{1, 4, 3, 6, 9, 12, 15, 14, 17, 20}
Table[1,{n,0,13}]
{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}
Table[5,{n,0,13}]
{5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5}
なんだこれは(/・ω・)/
Chu-Vandermonde identityにより
式をトランスフォーム
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}]
Table[sum[(-1)^(k-1)C(k-2n-1-C(0,n-2),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}]
k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12
0 | 5 | 26 | 73 | 133 | 167 | 148 | 91 | 37 | 9 | 1 | 0 | 0
■二項係数の間の等式
C(a,b)=(-1)^b C(b-a-1,b)
C(-a,b)=(-1)^b C(b+a-1,b)
縦4マス、横5マスの20マスのうちランダムに選ばれた
3マスにそれぞれ宝が眠っている
AFKPBG…の順で縦に宝を探していく方法をとるU君と、
ABCDEFGH…の順で横に宝を探していく方法をとるV君が、
同時に地点Aから探索を開始した
どっちの方が有利？
A.B.C.D.E
F.G.H. I..J
K.L.M.N.O
P.Q.R.S.T
2 * 3 [3] : 3 , 4 , 13
3 * 4 [3] : 73 , 76 , 71
4 * 5 [3] : 463 , 453 , 224
5 * 6 [3] : 1801 , 1727 , 532
6 * 7 [3] : 5328 , 5070 , 1082
7 * 8 [3] : 13213 , 12546 , 1961
8 * 9 [3] : 28901 , 27444 , 3295
9 *10.[3] : 57560 , 54724 , 5196
10*11[3] : 106535 , 101454 , 7831
11*12[3] : 185931 , 177394 , 11335
12*13[3] : 309169 , 295533 , 15918
13*14[3] : 493709 , 472815 , 21736
14*15[3] : 761704 , 730772 , 29044
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n人掛けの長いすがある
ここに、2人組のカップルがつぎつぎとランダムな
位置に座っていく
但し、各カップルは隣り合って座り、1人が1人分の椅子を占有し、
一度座ったら動かないものとする
もし、左から3,4人目のところにカップルが座り、6,7人目の
ところにもカップルが座ると、5人目のところは使えないままと
なることになる
このように各カップルはランダムな位置を占有しながら、
座れなくなるまでカップルは座っていく
このとき、最後に左右が埋まって空席のまま
使われず残る椅子の数はいくつになると期待されるか、
nで表せ
a_n=Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}]
いま、n人掛けの椅子はa_n人分のスペースが
孤立して残ると期待されるとする
例えば、n=0では誰も座れずa_0=0となり、
n=1ではやはりカップルは座れないが椅子は余るのでa_1=1、
n=2ではカップルが一組座って終わりなのでa_2=0、
n=3でも座れるカップルは一組だが1人分スペースが余るので
a_3=1となる
もし、一番最初のカップルが片端からk+1,k+2個目を
占有したとしたらどうなるだろうか
これは、その端からk個目までのk個と、
k+3個目から反対端までのn-k-2個が分断される
ことを意味する
つまり、k人掛けの椅子とn-k-2人掛けの椅子がある
という状況と同一視できる
Table[Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}],{n,1,20}]
重合度nのPVA（ポリビニルアルコール）があるとする
ここに、大過剰のホルムアルデヒド（HCHO）を用いて架橋を行う
即ち、各HCHO分子はPVAの隣り合う2つのOH基を架橋する
PVAのOH基をHCHOで架橋したものはビニロンと呼ばれる繊維になり、
残存するOH基の量に応じて吸水性などのパラメータが変わる
ここで、各HCHO分子は全くランダムな位置を架橋していくとし、
PVA とは架橋以外の相互作用をしないとする
もし、片端から3,4つ目のOHが架橋され、その後
6,7つ目のOHも架橋されたとすると、HCHOは5つ目のOHを
架橋できないことになる（隣り合うOHの架橋以外の相互作用を
認めないという仮定を用いた）
HCHO は大過剰存在するので、隣り合うOHがなくなるまで
架橋は進むとする
このとき、全てのOHの内、いくつが架橋されずに残ると
期待されるかnで表せ
一方、もしk人掛けの椅子ではx人分、n-k-2人掛けではy人分、
孤立したスペースを生じると期待されるとすれば、k人掛けの椅子と
n-k-2人掛けの椅子が両方あればx+y人分の孤立スペースが
出来ると期待される
以上より、最初のカップルがk+1,k+2個目を占有したなら、
孤立して残るスペースはa_k + a_n-k-2人分と期待される
各位置に座る確率はまったくランダムであるから、
この事象は1/(n-1)の確率でおきる
故に、a_nはa_0,a_1, ・ ・ ・a_n-2を用いて次のように表せる
a_n=(1/(n-1))sum[a_k + a_n-k-2,{k,0,n-2}]
=(2/(n-1))sum[a_k,{k,0,n-2}]
この式をより簡潔にする
両辺をn-1倍した式について、nにn+2を代入した式から
n+1を代入した式を引く
(n-1)a_n=2sum[a_k + a_n-k-2,{k,0,n-2}]
(n+1)a_n+2 - na_n+1=2sum[a_k,{k,0,n}]-2sum[a_k,{k,0,n-1}]=2a_n
∴(n+1)a_n+2=na_n+1 + 2a_n
■a_nの評価
a_n=Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}]
=(n)Sum[(-2)^k/k!,{k,0,n-1}]-Sum[(-2)^k/(k-1)!,{k,1,n-1}]
■n→∞の極限を考える
a_n≒(n)Sum[(-2)^k/k!,{k,0,∞}]+(2)Sum[(-2)^(k-1)/(k-1)!,{k,1,∞}]
=n/e^2 + 2/e^2=(n)e^(-2) + (2)e^(-2)≒(n)e^(-2)
従って、nが十分大きい時、a_n即ち孤立した椅子の数は
全体のe^(-2)という割合になると考えられる
Sum[(-2)^k((n-k)/k!),{k,0,-1+n}]
Table[Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}],{n,1,20}]
Table[Γ(n+1,-2)/(e^2Γ(n))+((-2)^(n+1)+(2Γ(n+1,-2))/e^2)/Γ(n+1),{n,1,20}]
(n+2)sum[k=0,n](-2)^k/k!+(-2)^(n+1)/n!
(n+2)sum[(-2)^k/k!,{k,0,n}]+(-2)^(n+1)/n!
━━━━━━━━━━━━━━━━━━
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■有限単純群モンスター
モンスターとは、およそ8.08×10^53個，正確には
2^46・3^20・5^9・7^6・11^2・13^3・17・19・23・29・31・41・47・59・71=
808017424794512875886459904961710757005754368000000000個の
元からなる巨大な群である
ちなみにアボガドロ定数はおよそ6.02 ×10^23である
モンスターは豊かな構造をもつ興味深い研究対象である
■マシュー群に関連した擬テータ関数に現れる合同式
Congruences on the Fourier coefficients of the Mathieu mock
theta function
37×3=111
37×6=222
37×9=333
37×12=444
37×15=555
37×18=666
37×21=777
37×24=888
37×27=999
271×41=11111
271×82=22222
271×123=33333
271×164=44444
271×205=55555
271×246=66666
271×287=77777
271×328=88888
271×369=99999
8547×13=111111
8547×26=222222
8547×39=333333
8547×52=444444
8547×65=555555
8547×78=666666
8547×91=777777
8547×104=888888
8547×117=999999
レピュニット とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が
1である自然数のことである
名前の由来は repeated unitを省略した単語であり、
1966年にアルバート・ベイラーが
Recreations in the Theory of Numbers の中で命名したものである
1111111=239×4649
11111111111=21649×513239
■1000!は何桁ですか？
ceil(log10(1000!))
十分大きなnに対してはa^n<n!<n^nということを使って、
10^1000＜1000!＜1000^1000＝10^3000
1000桁以上3000桁以下といってもいい
この方法はwolframで計算できないほど大きい階乗にも使える
10^10^10＜(10^10)!＜(10^10)^10^10＝10^10^11
(10^10)!は10 000 000 000桁以上、100 000 000 000桁未満
ガンマ関数
Γ
η
δ
Π
ε
α
β
z^5 - z^4 + z^2 + 1
20世紀中頃になり，Shannon により論理代数に
基づく論理回路設計法が示された．
ComplexExpand[(1+E^(I Pi+I n Pi)+2 n)/4]
(1+E^(I Pi+I nPi)+2n)/4
8x9長軸前半
Table[sum[C(2n-1+C(0,30mod n)-C(0,n-2)-2C(0,n-5)-3C(0,n-9)-3C(1,n-13),k-1),{n,1,15}],{k,15,15}]
{148675947}
8x9長軸後半
Table[sum[C(2n-1-7C(0,n-20)+C(0,n-21)-C(1,n-23)-C(1,n-25)-C(0,n-27)+C(0,n-28),k-1),{n,16,35}],{k,15,15}]
{403841194852891}
{148675947}+{403841194852891}={403841343528838}
>>20
8 * 9 [15]と一致 >>171の式で{k,17,18}の範囲で出力してみる
前半{146503110, 120240360}
後半{4482908293459421, 13308110794428679}
146503110+4482908293459421=4482908439962531
120240360+13308110794428679=13308110914669039
8 * 9 [17] : 4482908439962531
8 * 9 [18] : 13308110914669040
やはり、8x9マス宝18個から誤差がある
17個まで誤差はない Table[C(n mod2,n mod3),{n,1,10}]
{1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0}
e
i
λ
Π
Σ
Ψ
u
x
◆
◇
§
◯
β
ζ
エ
θ
Table[((-2)^(1+n)E^2+2Gamma[1+n,-2]+n Gamma[1+n,-2])/(E^2 n!),{n,1,28}]
Table[(e^2(-2)^(n+1)+n Γ(n+1,-2)+2 Γ(n+1,-2))/(e^2 n!),{n,1,28}]
{1, 0, 1, 2/3, 1, 16/15, 11/9, 142/105, 67/45, 4604/2835,
2771/1575, 59086/31185, 86327/42525, 4389248/2027025,
7533469/3274425, 222205682/91216125, 109456873/42567525,
2670957188/986792625, 16332117629/5746615875,
614053057522/206239658625, 1520442379271/488462349375,
126606575859992/38979295480125, 345404844856129/102088631019375,
15773069242557338/4482618980214375, 23501345644011017/6431583754220625,
4671255121834288564/1232720219558953125,
7547413632563686237/1923043542511966875,
23846953668187649602/5873549281427953125}
モックテータ関数は、S. Ramanujan が1920年に G. H. Hardy へ宛てた
最後の手紙、および Ramanujan の「失われたノート」と呼ばれる
草稿中で、初めて言及した関数である
Π[j=1 to n]Π[k=1 to n]{4cos^2 πj/(2n+1)+4cos^2 πk/(2n+1)}
([21,18,15,13,12,10,7,4,2,1],[])
([21,20,18,15,12,10,7,4,2,1],[])
([21,18,16,15,13,10,7,4,2,1],[])
([21,19,18,16,13,10,7,4,2,1],[])
([22,21,19,16,13,10,7,4,2,1],[])
([20,17,15,14,12,9,6,4,3,1],[])
([22,20,17,14,12,9,6,4,3,1],[])
([20,18,17,15,12,9,6,4,3,1],[])
([21,20,18,15,12,9,6,4,3,1],[])
([22,20,19,17,14,9,6,4,3,1],[])
([22,20,17,14,12,11,9,6,3,1],[])
([22,20,19,17,14,11,9,6,3,1],[])
([20,18,17,15,12,9,7,6,4,1],[])
([21,20,18,15,12,9,7,6,4,1],[])
([21,20,18,15,12,10,9,7,4,1],[])
([22,19,16,14,13,11,8,5,3,2],[])
([22,21,19,16,13,11,8,5,3,2],[])
([22,19,17,16,14,11,8,5,3,2],[])
([22,20,19,17,14,11,8,5,3,2],[])
([21,18,16,15,13,10,7,5,4,2],[])
([21,19,18,16,13,10,7,5,4,2],[])
([22,21,19,16,13,10,7,5,4,2],[])
([21,19,18,16,13,10,8,7,5,2],[])
([22,21,19,16,13,10,8,7,5,2],[])
([22,21,19,16,13,11,10,8,5,2],[])
([22,19,17,16,14,11,8,6,5,3],[])
([22,20,19,17,14,11,8,6,5,3],[])
([22,20,19,17,14,11,9,8,6,3],[])
Prelude> length $ sols !! 10
28
Table[(1/16)[{1-(-1)^n}{(n+15)-(n-9)i^(n+1)}+8{1+(-1)^n}(3+i^n)],{n,1,20}]
{1, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 4, 2, 3, 4, 5, 2, 3, 4}
特定の場所だけ4にしたい
Table[4C(0,n-9),{n,1,10}]
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0}
Table[1/4(1-binomial(0,n-13)),{n,0,13}]
Table[(1-Binomial[0,-13+n])/4,{n,0,13}]
Table[Factor[(2+(-1)^n+(-1)^(1+n)-2Binomial[0,-13+n])/8],{n,0,13}]
kは任意だがnは動かせない
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+C(1,n-4),k-1),{n,1,9}],{k,13,18}]
nを任意にするには差分追尾数列αがいる
数学においてガンマ関数（英: Gamma function）とは、
階乗の概念を複素数全体に拡張した特殊関数である
互いに同値となるいくつかの定義が存在するが、
1729年、数学者レオンハルト・オイラーが階乗の一般化として、
最初に導入した
Table[(1/sqrt(5))(((1+sqrt(5))/2)^n-((1-sqrt(5))/2)^n),{n,1,28}]
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,
2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393,
196418, 317811}
超幾何級数
a(n)=Hypergeometric1F1[-n;-2n;-2]
Table[1F1(-n, -2n, -2),{n,1,10}]
69, 67, 65, 63, 61, 59, 57, 56,
52, 50, 48, 46, 44, 43, 42,
37, 35, 33, 32, 31, 30,
24, 23, 22, 21, 20,
15, 14, 13, 12,
8, 7, 6,
3, 2
規則性は？
2 6 12 20 30 42 56は三角数の位置
