インテグラル ∫ の本質について語ろう。

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1１３２人目の素数さん2020/03/12(木) 23:23:27.98ID:K2aRwFeZ

y=f(x)=(1/2)x²とする。

df(x)/dx=xより

∫xdx=∫(df(x)/dx)dx=(1/2)x²

左辺をdxで約分し、右辺はf(x)より

∫df(x)=f(x)

∫d=1

∴∫=1/d

2１３２人目の素数さん2020/03/12(木) 23:41:57.49ID:D6m3oRX9

∫ﾀﾂﾉｺﾌﾟﾛ∫

3１３２人目の素数さん2020/03/12(木) 23:43:39.88ID:j596q0w3

俺は別スレでライプニッツがどういうつもりで∫記号を使ったのか書いたんだが、散々煽られたから二度と書かない。
せいぜい自力で頑張って考察すればいい。

4１３２人目の素数さん2020/03/12(木) 23:47:32.71ID:K2aRwFeZ

>>3

俺は煽らない。∫には謎が多すぎる。ぜひ語ってほしい。

5１３２人目の素数さん2020/03/13(金) 08:17:35.43ID:5WnGLR6y

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

　　　　　　　ヘビの行進

6１３２人目の素数さん2020/03/13(金) 09:42:39.50ID:5dr2beOj

カッコインテグラ

7１３２人目の素数さん2020/03/13(金) 10:41:19.26ID:p4hVot3i

ナオト・イン・ティグラミ

8１３２人目の素数さん2020/03/13(金) 12:41:04.57ID:YdY11b9x

>>3
何が謎なのかさえわからない私。
インテグラル＝かけて(×)足して(+)limやん。
ぐらいにしか思ってない。
もし面白かったら拾いものなので、ぜひ語ってください。

9１３２人目の素数さん2020/03/13(金) 13:24:45.76ID:Pzzsy05r

∫とΣの差を調べると、ベルヌーイ数が生じてくる。

10１３２人目の素数さん2020/03/13(金) 14:44:20.30ID:BC+EFcsq

ライプニッツの時代にはdxやdyや∫自体に意味を持たせて扱っていたんだよ。
厳密性というものを重視する流れの中で、dy/dxや∫　dxを一かたまりで扱うようになっていった。

ライプニッツは∫を元々omnと書いていた。omnはomni（全て）の意味。
これだけ考えても、∫とdxが元々バラバラで、独立した意味を持っていたことが分かる。

次のPDFのリンク先は必ず読んでほしい。以下の文はそこからの引用だから。
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1677-17.pdf

「ちょうどomn.lの代わりに∫ lとするように,omnの代わりに∫と書くと便利だろう」,
「∫ l=yaならば,l=ya/dとおくだろう.すなわち∫が次元を増やすように,dは次元を減らす.
ところで∫は和を,dは差を意味する.」

微分計算の公式化:dx=1, dx^2=2x, dx^3=3x^2,…,
d(1/x)=-(1/x^2), d(1/x^2)=-(2/x^3), d(1/x^3)=-(3/x^4),…,
d√x=1/[2]√x
一般則
dx^e=ex^(e-1),また逆に∫ x^e=x^(e+1) / (e+1),
(商の微分d(x/w)=干xdw±wdx / w^2

11１３２人目の素数さん2020/03/13(金) 14:52:09.62ID:BC+EFcsq

ライプニッツは∫だけで、今日でいう∫ dxの意味を持たせていたようだ。
ところが、これでは何で積分したのか分からないので、後の学者がdxを加えたのだろうと思われる。

ライプニッツ自身は∫とdを逆の働きをする記号であると考えていたのではないだろうか？

∫dxとあったときに、
∫dxは∫1dxで1を積分してxと考えることもできるが、
∫dxの∫とdが相殺してxになったと考えることもできるのではないか。

limを導入したのはルイリエであり、ライプニッツよりも後の時代の人。
limが導入されるとΔy/Δxの極限として、dy/dxが扱われるようになる。

12１３２人目の素数さん2020/03/13(金) 19:17:10.61ID:Jl3AXnW3

↑まーたおまえか

13１３２人目の素数さん2020/03/13(金) 22:08:30.66ID:9eYKGvAn

Riemannにおまかせ

14 【大凶】 2020/03/13(金) 22:29:41.44ID:OegQL28o

∫ｲﾝﾃｸﾞﾗﾙは半ｸﾞﾏを区間で引っ張った！
引っ張ってなめらかにした！

15 【ひょん吉】 2020/03/13(金) 22:31:22.82ID:OegQL28o

前>>14
Σｼｸﾞﾏは文字化けする。

いつもなぜか文字化けする。

16 【大凶】 2020/03/13(金) 22:33:33.52ID:OegQL28o

前>>15
∫は狽謚ﾔで引っ張った。

17 【下級国民】 2020/03/13(金) 22:34:14.44ID:OegQL28o

前>>15
∫は狽謚ﾔで引っ張った。区間で引っ張ってなめらかにした。

18 【ﾆﾀﾞｰ】 2020/03/13(金) 22:38:10.96ID:OegQL28o

前>>17
Σは文字化けする。
狽繪ｺに区間で引っ張ってなめらかにしたら∫こうなった。

19１３２人目の素数さん2020/03/13(金) 22:39:14.11ID:TWdcsr2E

>>10
今度ゆっくり読んでみるわ。サンクス。

20 【小凶】 2020/03/13(金) 22:39:54.15ID:OegQL28o

Σを区間で引っ張ってなめらかにしたら∫になった。

21１３２人目の素数さん2020/03/13(金) 22:51:42.23ID:5ukvZR9Q

凶分的になめらか～♪

22１３２人目の素数さん2020/03/14(土) 01:34:16.66ID:VOkope6K

ライプニッツのdの扱いは、ヘビサイドの演算子法のpの扱いに似ているんだな。
普通、ライプニッツとヘビサイドを比べることはしないんだが、記号法だけ見れば似ているとも言える。

23１３２人目の素数さん2020/03/14(土) 02:27:51.37ID:0LrZOIas

f ds = g dx + h dy なら

∫f ds = ∫ g dx + ∫ h dy

になるのが納得できん！

24１３２人目の素数さん2020/03/18(水) 14:29:24.23ID:9DZsCf26

f ds = g dx + h dy → f ds/dt = g dx/dt + h dy/dt
→ ∫ (f ds/dt) dt = ∫ (g dx/dt) dt + ∫ (h dy/dt) dt
→ ∫ f ds = ∫ g dx + ∫ h dy でいいじゃん

25１３２人目の素数さん2020/04/12(日) 20:25:53.72ID:xmjD83Fu

工学系だけどめっちゃ∫単体で使うんだけど
あとdxとかdSとかはそれだけで計算したりするし
最後には２りをくっつけるけど

26１３２人目の素数さん2020/04/12(日) 22:11:50.75ID:BWAadYIb

>>25
本来数学では、計算するためにはその計算方法で正しく計算できる根拠が必要なんだけど、あなたはdxの計算の根拠を説明できる？
責めてるとかではなくて単純な疑問なんだけど

27１３２人目の素数さん2020/04/19(日) 19:55:14.02ID:TsRLfrPq

dxとdyが比例関係なら
d２yはdxの２次関数でいいですか？
もとの関数にとって何か図形的意味はあるますか？

28１３２人目の素数さん2020/04/19(日) 20:08:48.71ID:5D4KkgM5

二階微分は二乗じゃないよ

29１３２人目の素数さん2020/04/19(日) 20:19:56.45ID:TsRLfrPq

d2y=f''(x)(dx)^2 と見てテーラー展開の２次の項と関連付けて見る方法はないですか

30１３２人目の素数さん2020/05/02(土) 07:18:50.63ID:6YEPujIY

英語　∫＝sh
独語　∫＝sch
仏語　∫＝ch

31１３２人目の素数さん2020/05/02(土) 21:37:25.58ID:qRheJeh7

俺も∫を「シュ」って読んでいたな。
発音記号では/∫/はシュだからな。

32１３２人目の素数さん2020/05/04(月) 13:09:15.40ID:jDRWX2Ph

3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku

昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、

学コンBコースが 1/1 = 100% ，

宿題が 3/10 = 30% でした！

宿題の勝率が低すぎると思うので、

これからは一層精進していきたいです！

https://twitter.com/shukudai_sujaku
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

33１３２人目の素数さん2020/05/17(日) 19:29:50.30ID:DyV8Ib2z

積分はニュートンが発見したって知ってるか

34１３２人目の素数さん2020/05/29(金) 15:13:29.96ID:+hIdwunz

ドイツではdy/dxは「微分商」と呼ばれるんだから、少なくともライプニッツはdy/dxを分数だと思っていたんじゃないかな？
それで後の時代に。微分演算子d/dxとyを別々に考える考え方が発生したと。

35１３２人目の素数さん2020/05/29(金) 15:17:30.85ID:+hIdwunz

それで後の時代に。　→　それで後の時代に、

36１３２人目の素数さん2020/06/01(月) 07:28:29.13ID:8U6VUaDi

>>9が触れた積分∫と和分Σの差異について淋しそうに語れ

37１３２人目の素数さん2020/06/11(木) 22:45:06.97ID:nMz4Mm/b

音声記号（シュ）　ʃ
積分記号　∫